5. Решите систему неравенств

Решение:

Дана система неравенств:

\[ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \le 0 \\ 3x - 8 \ge 0 \end{cases} \]

Решаем первое неравенство:

\[ x^2 - 6x + 8 \le 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант.

\( x_1 + x_2 = 6 \), \( x_1 x_2 = 8 \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \).

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 6x + 8 \) направлены вверх, то неравенство \( x^2 - 6x + 8 \le 0 \) выполняется при \( 2 \le x \le 4 \).

Решаем второе неравенство:

\[ 3x - 8 \ge 0 \]

\[ 3x \ge 8 \]

\[ x \ge \frac{8}{3} \]

\( \frac{8}{3} \approx 2.67 \).

Объединяем решения:

Нам нужно найти пересечение интервалов \( [2; 4] \) и \( [\frac{8}{3}; +\infty) \).

\( [2; 4] \cap [\frac{8}{3}; +\infty) = [\frac{8}{3}; 4] \).

Ответ: $$x \in [\frac{8}{3}; 4]$$.