5. Решите систему уравнений: { 1/x + 1/y = 1/2, 3x - y = 3. }

Решение:

1. Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 3x - 3 \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2} \]
3. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2(3x - 3) + 2x}{2x(3x - 3)} = \frac{x(3x - 3)}{2x(3x - 3)} \]
4. Упростим числитель: \[ 6x - 6 + 2x = 3x^2 - 3x \]
5. Перенесём все члены в одну сторону и приведём подобные: \[ 3x^2 - 3x - 8x + 6 = 0 \] \[ 3x^2 - 11x + 6 = 0 \]
6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 \]
7. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
8. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):
   • Если \( x_1 = 3 \), то \( y_1 = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6 \).
   • Если \( x_2 = \frac{2}{3} \), то \( y_2 = 3(\frac{2}{3}) - 3 = 2 - 3 = -1 \).

Ответ: (3; 6), (2/3; -1).