5. Решите систему уравнений { 2x+9y = -14, 4x-3y=-7.

Решение системы уравнений

У нас есть система из двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} 2x + 9y = -14 \\ 4x - 3y = -7 \end{cases} \)

Чтобы решить эту систему, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. Давайте воспользуемся методом сложения.

Шаг 1: Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

\( 3 \cdot (4x - 3y) = 3 \cdot (-7) \)

\( 12x - 9y = -21 \)

Теперь наша система выглядит так:

\( \begin{cases} 2x + 9y = -14 \\ 12x - 9y = -21 \end{cases} \)

Шаг 2: Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную y:

\( (2x + 9y) + (12x - 9y) = -14 + (-21) \)

\( 2x + 12x + 9y - 9y = -14 - 21 \)

\( 14x = -35 \)

Шаг 3: Найдем значение x, разделив обе части на 14:

\( x = \frac{-35}{14} \)

\( x = -\frac{5}{2} \) или \( x = -2.5 \)

Шаг 4: Подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений, чтобы найти y. Возьмем второе уравнение: \( 4x - 3y = -7 \)

\( 4 \cdot (-\frac{5}{2}) - 3y = -7 \)

\( -10 - 3y = -7 \)

Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно y:

\( -3y = -7 + 10 \)

\( -3y = 3 \)

\( y = \frac{3}{-3} \)

\( y = -1 \)

Шаг 6: Проверка. Подставим найденные значения x и y в оба исходных уравнения.

Первое уравнение: \( 2x + 9y = -14 \)

\( 2(-\frac{5}{2}) + 9(-1) = -5 - 9 = -14 \) (Верно)

Второе уравнение: \( 4x - 3y = -7 \)

\( 4(-\frac{5}{2}) - 3(-1) = -10 + 3 = -7 \) (Верно)

Ответ: \( x = -2.5 \), \( y = -1 \).