5. Решите следующие задачи (при расчётах считайте, что c = 3 · 10⁵ км/с, RЗ = 6370 км). а) Радиолокатор зафиксировал отражённый сигнал от пролетающего вблизи Земли астероида через t = 0,667 с. На каком расстоянии от Земли находился в это время астероид? б) При наблюдении прохождения Меркурия по диску Солнца определили, что его угловой радиус ρ = 5,5″, а горизонтальный параллакс p = 14,4″. Определите линейный радиус Меркурия. в) Определите расстояние от Земли до Марса во время великого противостояния, когда горизонтальный параллакс его равен 23,2″.

а) Сигнал проходит расстояние от Земли до астероида и обратно, поэтому расстояние до астероида в два раза меньше пройденного сигналом пути:

\(s = ct\),

\[r = \frac{ct}{2} = \frac{3 \cdot 10^5 \cdot 0,667}{2} = 100050\ \text{км}.\]

Ответ: астероид находился на расстоянии 100 050 км от Земли, примерно \(1,0 \cdot 10^5\) км.

б) Для малых углов линейный радиус Меркурия относится к радиусу Земли так же, как его угловой радиус относится к горизонтальному параллаксу:

\[\frac{R_{\text{М}}}{R_З} = \frac{\rho}{p}.\]

Отсюда:

\[R_{\text{М}} = R_З \frac{\rho}{p} = 6370 \cdot \frac{5,5}{14,4} \approx 2433\ \text{км}.\]

Ответ: линейный радиус Меркурия примерно 2433 км.

в) Горизонтальный параллакс связан с расстоянием до планеты формулой:

\[\sin p = \frac{R_З}{r}.\]

Переведём угловые секунды в радианы, используя \(1\ \text{рад} \approx 206265″\):

\[p = \frac{23,2}{206265}\ \text{рад}.\]

Тогда:

\[r = \frac{R_З}{\sin p} \approx \frac{6370 \cdot 206265}{23,2} \approx 5,66 \cdot 10^7\ \text{км}.\]

Ответ: расстояние от Земли до Марса примерно \(5,66 \cdot 10^7\) км, или 56,6 млн км.