5. Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x-4}+2\sqrt[4]{x-4}=35\); 2) \(\sqrt{x+5}-\sqrt{8-x}=1\).

Область определения: \(x\ge4\). Обозначим \(t=\sqrt[4]{x-4}\), тогда \(t\ge0\), а \(\sqrt{x-4}=t^2\).

Получаем \(t^2+2t=35\), то есть \((t+7)(t-5)=0\). С учётом \(t\ge0\), \(t=5\).

Тогда \(\sqrt[4]{x-4}=5\), откуда \(x-4=625\) и \(x=629\).

Ответ: \(x=629\).

Область определения: \(-5\le x\le8\). Из уравнения следует \(\sqrt{x+5}=1+\sqrt{8-x}\). Возведём обе части в квадрат:

\(x+5=1+2\sqrt{8-x}+8-x\), поэтому \(x-2=\sqrt{8-x}\). Здесь обязательно \(x\ge2\).

Снова возведём в квадрат: \((x-2)^2=8-x\), откуда \(x^2-3x-4=0\), то есть \((x-4)(x+1)=0\).

Из корней \(4\) и \(-1\) условию \(x\ge2\) удовлетворяет только \(x=4\). Проверка: \(\sqrt9-\sqrt4=3-2=1\).

Ответ: \(x=4\).