5. Решите уравнение \((3^{x^2+2})^{x-8}=(\frac13)^x\cdot81^{x-9}\).

Преобразуем обе части к основанию 3:

\((3^{x^2+2})^{x-8}=3^{(x^2+2)(x-8)}\), а \((\frac13)^x\cdot81^{x-9}=3^{-x}\cdot3^{4(x-9)}=3^{3x-36}\).

Так как основания равны и \(3\ne1\), приравниваем показатели:

\((x^2+2)(x-8)=3x-36\).

Раскрываем скобки и переносим всё в левую часть:

\(x^3-8x^2-x+20=0\).

У этого кубического уравнения три действительных корня; простых рациональных корней нет. Численно: \(x\approx-1.504\), \(x\approx1.697\), \(x\approx7.799\).

Ответ: \(x\approx-1.504;\ 1.697;\ 7.799\).