5. Решите уравнение: a) sin 2x = 0; 6) cos x⋅cos 2x - sin x⋅sin 2x = 0; B) sin²x = -cox 2x.

Решение:

а) \( \sin 2x = 0 \)

1. Общее решение уравнения \( \sin t = 0 \) есть \( t = \pi k \), где \( k \) — целое число.
2. В нашем случае \( t = 2x \), поэтому \( 2x = \pi k \).
3. Разделим обе части на 2:
   \( x = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) \( \cos x \cdot \cos 2x - \sin x \cdot \sin 2x = 0 \)

1. Используем формулу косинуса суммы: \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \).
2. В нашем случае \( \alpha = x \) и \( \beta = 2x \), поэтому уравнение принимает вид:
   \( \cos(x + 2x) = 0 \)
3. \( \cos(3x) = 0 \)
4. Общее решение уравнения \( \cos t = 0 \) есть \( t = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.
5. В нашем случае \( t = 3x \), поэтому \( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).
6. Разделим обе части на 3:
   \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

в) \( \sin^2 x = -\cos 2x \)

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
2. Подставим это в уравнение:
   \( \sin^2 x = -(1 - 2\sin^2 x) \)
3. \( \sin^2 x = -1 + 2\sin^2 x \)
4. Перенесем все члены в одну сторону:
   \( \sin^2 x - 2\sin^2 x + 1 = 0 \)
5. \( -\sin^2 x + 1 = 0 \)
6. \( \sin^2 x = 1 \)
7. Отсюда \( \sin x = \pm 1 \).
8. Если \( \sin x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
9. Если \( \sin x = -1 \), то \( x = \frac{3\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
10. Объединяя эти два случая, получаем \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), \( k \in \mathbb{Z} \); в) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).