5. Решите уравнение log_sqrt(3) x + log_9 x = 10.

Решение:

Для решения данного уравнения, приведём логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Заменим основание \( \sqrt{3} \) на 3:

\( \log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} \)

Так как \( \log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{1/2} = \frac{1}{2} \), то \( \log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{1/2} = 2 \log_3 x \).

Заменим основание 9 на 3:

\( \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} \)

Так как \( \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \), то \( \log_9 x = \frac{\log_3 x}{2} = \frac{1}{2} \log_3 x \).

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

\( 2 \log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x = 10 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{4 \log_3 x + \log_3 x}{2} = 10 \)

\( \frac{5 \log_3 x}{2} = 10 \)

Умножим обе части на 2:

\( 5 \log_3 x = 20 \)

Разделим обе части на 5:

\( \log_3 x = 4 \)

Теперь преобразуем логарифмическое уравнение в показательное. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В нашем случае \( a = 3 \), \( b = x \), \( c = 4 \).

\( x = 3^4 \)

\( x = 81 \)

Проверим условие \( x > 0 \). Так как \( 81 > 0 \), решение подходит.

Ответ: x = 81.