5. Решите уравнение $\log_{x-2}\frac{x^4-16}{x+2}=1$. Найдите область допустимых значений, покажите её на числовой прямой, примените формулу $\log_a b=x$, $b=a^x$, выразите $x^4-16$, получите квадратное уравнение заменой $x^2=y$ и запишите ответ с учётом ОДЗ.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите уравнение $\log_{x-2}\frac{x^4-16}{x+2}=1$. Найдите область допустимых значений, покажите её на числовой…$ Фото задания

5. Решите уравнение $\log_{x-2}\frac{x^4-16}{x+2}=1$. Найдите область допустимых значений, покажите её на числовой прямой, примените формулу $\log_a b=x$, $b=a^x$, выразите $x^4-16$, получите квадратное уравнение заменой $x^2=y$ и запишите ответ с учётом ОДЗ.

Accepted Answer

ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равняться 1, а аргумент — положительным:

$x-2>0$, поэтому $x>2$; также $x-2\ne1$, откуда $x\ne3$. При $x>2$ имеем $x+2>0$ и $x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)>0$, значит аргумент положителен. Следовательно, ОДЗ: $(2;3)\cup(3;+\infty)$.

На числовой прямой это два интервала: $(2;3)$ и $(3;+\infty)$; точки 2 и 3 выколоты.

По определению логарифма уравнение равносильно

\[\frac{x^4-16}{x+2}=x-2.\]

Раскладываем разность четвёртых степеней и учитываем, что на ОДЗ $x+2\ne0$:

\[(x-2)(x^2+4)=x-2.\]

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель:

\[(x-2)(x^2+3)=0.\]

Положим $y=x^2$. Тогда получаем квадратное уравнение $(x-2)(y+3)=0$. Из первого множителя следует $x=2$, что не принадлежит ОДЗ; второй множитель даёт $y=-3$, то есть $x^2=-3$, действительных решений нет.

Ответ: решений нет.