5. Решите уравнение: log₂₄x - log₄x - 2 = 0

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим.

1. Перепишем уравнение, используя свойство степеней логарифмов: \( \log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x \). В нашем случае \( b=4, n=2 \), поэтому \( \log_{4^2} x = \log_{16} x \) не подходит, так как в условии \( \log_{4^2}x \) означает \( (\log_4 x)^2 \).
2. Пусть \( y = \log_4 x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - y - 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

4. Теперь вернемся к замене \( y = \log_4 x \):
5. Для \( y_1 = 2 \): \( \log_4 x = 2 \). По определению логарифма: \( x = 4^2 = 16 \).
6. Для \( y_2 = -1 \): \( \log_4 x = -1 \). По определению логарифма: \( x = 4^{-1} = \frac{1}{4} \).
7. Проверим полученные корни. Логарифм определен для положительных чисел, оба корня \( 16 \) и \( \frac{1}{4} \) положительны.

Ответ: x = 16, x = 1/4.