5. Решите уравнение sin^2 x - 9 sin x cos x + 3 cos x = -1.

Решение уравнения:

\(\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x = -1\)

Заменим \(-1\) на \(-\sin^2 x - \cos^2 x\):

\(\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x = -\sin^2 x - \cos^2 x\)

Перенесем все в левую часть:

\(\sin^2 x + \sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x + \cos^2 x = 0\)

\(2\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x + \cos^2 x = 0\)

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на \(\cos^2 x\) (предполагая \(\cos x
eq 0\)):

\(2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 9\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3\frac{\cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0\)

\(2\tan^2 x - 9\tan x + 3\sec x + 1 = 0\)

Это не привело к простому решению. Вернемся к уравнению \(2\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x + \cos^2 x = 0\). Используем \(1 = \sin^2 x + \cos^2 x\) для замены \(-1\).

\(\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x = -(\sin^2 x + \cos^2 x)\)

\(\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x + \sin^2 x + \cos^2 x = 0\)

\(2\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + \cos^2 x + 3 \cos x = 0\)

Это уравнение выглядит как сумма квадратов и произведения. Попробуем разложить на множители.

Сгруппируем слагаемые:

\((\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 2 \cos x = 0\)

\(1 + \sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 2 \cos x = 0\)

Рассмотрим исходное уравнение: \(\sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x = -1\). Заметим, что \(\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x\).

\(-\cos^2 x - 9 \sin x \cos x + 3 \cos x = 0\)

Вынесем \(\cos x\) за скобки:

\(\cos x (-\cos x - 9 \sin x + 3) = 0\)

Отсюда либо \(\cos x = 0\), либо \(-\cos x - 9 \sin x + 3 = 0\).

Случай 1: \(\cos x = 0\)

Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). В этом случае \(\sin^2 x = 1\). Подставим в исходное уравнение:

\(1 - 9 \cdot (\pm 1) \cdot 0 + 3 \cdot 0 = -1\)

\(1 = -1\), что неверно. Значит, \(\cos x
eq 0\).

Случай 2: \(-\cos x - 9 \sin x + 3 = 0\)

\(9 \sin x + \cos x = 3\)

Это уравнение вида \(a \sin x + b \cos x = c\). Разделим обе части на \(\sqrt{9^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}\).

\(\frac{9}{\sqrt{82}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{82}} \cos x = \frac{3}{\sqrt{82}}\)

Пусть \(\cos \alpha = \frac{9}{\sqrt{82}}\), \(\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{82}}\). Тогда:

\(\cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{3}{\sqrt{82}}\)

\(\sin (x + \alpha) = \frac{3}{\sqrt{82}}\)

\(x + \alpha = \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{82}} \right) + 2\pi n\) или \(x + \alpha = \pi - \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{82}} \right) + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

\(x = \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{82}} \right) - \alpha + 2\pi n\) или \(x = \pi - \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{82}} \right) - \alpha + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Где \(\alpha = \arctan \left( \frac{1}{9} \right)\).