5. Решите уравнения: a) 5^x * 2^x = 0,1^-3 : 10^-2 б) 2 * 7^(x+2) - 3 * 7^x = 95 в) 9^x - 8 * 3^x - 9 = 0

Решение:

a) \( 5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3} : 10^{-2} \)

1. Применим свойство степеней \( a^x \cdot b^x = (ab)^x \): \( (5 \cdot 2)^x = 10^x \).


2. Преобразуем правую часть: \( 0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^3 \).


3. Деление степеней: \( 10^3 : 10^{-2} = 10^{3 - (-2)} = 10^5 \).


4. Уравнение принимает вид: \( 10^x = 10^5 \).


5. Приравниваем показатели степеней: \( x = 5 \).

б) \( 2 \cdot 7^{x+2} - 3 \cdot 7^x = 95 \)

1. Разложим \( 7^{x+2} \) как \( 7^x \cdot 7^2 \): \( 2 \cdot 7^x \cdot 7^2 - 3 \cdot 7^x = 95 \).


2. Вычислим \( 7^2 \): \( 2 \cdot 7^x \cdot 49 - 3 \cdot 7^x = 95 \).


3. Упростим: \( 98 \cdot 7^x - 3 \cdot 7^x = 95 \).


4. Вынесем \( 7^x \) за скобки: \( (98 - 3) \cdot 7^x = 95 \).


5. Получаем: \( 95 \cdot 7^x = 95 \).


6. Разделим обе части на 95: \( 7^x = 1 \).


7. Так как \( 7^0 = 1 \), то \( x = 0 \).

в) \( 9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \)

1. Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \).


2. Введём замену: пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 8y - 9 = 0 \).


3. Решим квадратное уравнение для \( y \):


4. Дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \).


5. Корни: \( y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \) и \( y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \).


6. Вернёмся к замене:


7. Для \( y_1 = 9 \): \( 3^x = 9 \). Так как \( 3^2 = 9 \), то \( x = 2 \).


8. Для \( y_2 = -1 \): \( 3^x = -1 \). Это уравнение не имеет решений, так как степень числа \( 3 \) всегда положительна.

Ответ: а) x = 5; б) x = 0; в) x = 2.