5. Решите задачу. Число 1250 является членом геометрической прогрессии \(\frac{2}{3125};\ \frac{2}{625};\ \frac{2}{125};\ldots\). Определите порядковый номер этого члена.

Первый член прогрессии равен \(b_1=\frac{2}{3125}\), а знаменатель \(q=\frac{2/625}{2/3125}=5\).

Общий член: \(b_n=b_1q^{n-1}=\frac{2}{3125}\cdot5^{n-1}\). Приравняем его к 1250:

\(\frac{2}{3125}\cdot5^{n-1}=1250\), поэтому \(5^{n-1}=1250\cdot\frac{3125}{2}=1\,953\,125=5^9\).

Значит, \(n-1=9\), откуда \(n=10\).

Ответ: 10.