5. Решите задачу. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найдите его площадь, если A (13; 2), B (19; 5), C (17; 9) и D (11; 6).

Найдём векторы сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(19-13;\,5-2)=(6;3)\), \(\overrightarrow{BC}=(17-19;\,9-5)=(-2;4)\).

Проверим перпендикулярность смежных сторон: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot(-2)+3\cdot4=-12+12=0\). Значит, угол ABC прямой.

Кроме того, \(\overrightarrow{CD}=(11-17;\,6-9)=(-6;-3)=-\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{DA}=(13-11;\,2-6)=(2;-4)=-\overrightarrow{BC}\). Следовательно, противоположные стороны параллельны, и ABCD — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Длины соседних сторон: \(AB=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5\), \(BC=\sqrt{(-2)^2+4^2}=2\sqrt5\).

Площадь прямоугольника: \(S_{ABCD}=AB\cdot BC=3\sqrt5\cdot2\sqrt5=30\).

Ответ: 30.