5. Решите задачу: Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10м. Найдите площадь сечения.

Решение задачи:

Осевое сечение конуса — это прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 10 м. Площадь этого треугольника и есть площадь сечения.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \). По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = 10^2 = 100 \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

Для максимальной площади при фиксированной гипотенузе, треугольник должен быть равнобедренным. В этом случае \( a = b \).

\( a^2 + a^2 = 100 \)
\( 2a^2 = 100 \)
\( a^2 = 50 \)
\( a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) м.

Тогда \( b = 5\sqrt{2} \) м.

Площадь сечения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2 = 25 \) м².

Ответ: 25 м².