5. Решите задачу. Площадь равностороннего треугольника ABC равна 48√3. 1. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника. 2. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник. 3. Чему равна длина меньшей дуги AB? (π ≈ 3,14, ответ округлите до целых.)

1. Пусть сторона треугольника равна a. Его площадь равна \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), поэтому \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}\), откуда \(a^2=192\) и \(a=8\sqrt{3}\).

   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Следовательно, \(R=8\).

2. Радиус вписанной окружности равен \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Подставляем сторону: \(r=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=4\).

3. Меньшая дуга AB стягивается центральным углом 120°: угол между радиусами к двум вершинам равностороннего треугольника равен \(360°/3=120°\). Длина дуги равна \(\frac{120}{360}\cdot 2\pi R=\frac{16\pi}{3}\).

   При \(\pi\approx3{,}14\): \(\frac{16\cdot3{,}14}{3}\approx16{,}75\), округляя до целых, получаем 17.

Ответ: 1) 8; 2) 4; 3) 17.