5. Решите задачу. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду проезжал на 4 м меньше, чем в предыдущую. Сколько метров автомобиль прошел до полной остановки?

Решение:

Это задача на сумму арифметической прогрессии, где первый член — расстояние, пройденное за первую секунду торможения, а разность — изменение этого расстояния каждую следующую секунду.

\( a_1 = 16 \) м (расстояние, пройденное за 1-ю секунду).

\( d = -4 \) м (каждую следующую секунду автомобиль проезжал на 4 м меньше).

Сначала найдем, сколько секунд длилось торможение. Автомобиль остановится, когда расстояние, проходимое за секунду, станет равным 0 или отрицательным. Найдем \( n \), когда \( a_n \) станет <= 0.

\( a_n = a_1 + d(n-1) \)

\( 16 + (-4)(n-1) = 0 \)

\( 16 - 4n + 4 = 0 \)

\( 20 - 4n = 0 \)

\( 4n = 20 \)

\( n = 5 \) секунд.

Значит, торможение длилось 5 секунд. Теперь найдем суммарное расстояние, пройденное за эти 5 секунд, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)

Мы знаем \( a_1 = 16 \) м, \( n = 5 \) секунд. Нам нужно найти \( a_5 \) — расстояние, пройденное за 5-ю секунду.

\( a_5 = a_1 + d(5-1) = 16 + (-4)(4) = 16 - 16 = 0 \) м.

Теперь найдем сумму:

\( S_5 = \frac{16 + 0}{2} \cdot 5 \)

\( S_5 = \frac{16}{2} \cdot 5 \)

\( S_5 = 8 \cdot 5 \)

\( S_5 = 40 \) м.

Ответ: 40 метров.