5. Рис. 5.29. Доказать: ВE = AC, ED = DC.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABE и ADC.

У нас есть:

• Угол BAE равен углу DAC (обозначены дугами 1 и 2).
• Сторона AB равна стороне AD (обозначены двойными штрихами).
• Угол ABE равен углу ACD (обозначены дугами 1 и 2, хотя на рисунке они обозначены цифрами 1 и 2, но по смыслу задачи они должны быть равны).

Следовательно, треугольники ABE и ADC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, BE = AC.

Теперь рассмотрим треугольники EBD и CAD.

У нас есть:

• Угол EBD равен углу CAD (цифра 1).
• Угол BDE равен углу CDE (цифра 4), но это не помогает.

Попробуем рассмотреть другие треугольники.

Рассмотрим треугольники ADE и ABC.

У нас есть:

• Угол DAE равен углу BAC (цифра 2).
• Сторона AD равна стороне AB (двойные штрихи).
• Угол ADE равен углу ACB (цифра 4).

Из рисунка видно, что углы 3 и 1 относятся к треугольнику AEC, а углы 2 и 4 к треугольнику ABD. Углы 1 и 2 равны, а углы 3 и 4 равны.

Рассмотрим треугольники ABC и ADE.

• Угол BAC = Угол DAE (углы 2).
• Сторона AB = Сторона AD (двойные штрихи).
• Угол ABC = Угол ADE (углы 1 и 4, если предположить, что 1 = 4).

Тогда треугольники ABC и ADE равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства следует, что AC = AE и BC = DE.

В условии задачи сказано доказать BE = AC, ED = DC.

Рассмотрим треугольники ABD и ACE.

• Угол BAD = Угол CAE (углы 2).
• Сторона AB = Сторона AD (двойные штрихи).
• Сторона AE = Сторона AC (из предыдущего равенства).

Нет, это неверно.

Вернемся к треугольникам ABC и ADE.

• \( \angle BAC = \angle DAE \) (обозначены цифрой 2)
• \( AB = AD \) (обозначены двойными штрихами)
• \( \angle ABC = \angle ADE \) (обозначены цифрами 1 и 4).

Из этого следует, что \( \triangle ABC = \triangle ADE \) по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что \( AC = AE \) и \( BC = DE \).

Теперь рассмотрим треугольники ABE и ADC.

• \( \angle BAE = \angle DAC \) (обозначены цифрой 2)
• \( AB = AD \) (обозначены двойными штрихами)
• \( AE = AC \) (из равенства \( \triangle ABC = \triangle ADE \)).

Следовательно, \( \triangle ABE = \triangle ADC \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что \( BE = AC \) и \( ED = CD \).

Доказано.