5. Рис. 651. Дано: М, №, К – точка касания. Найти: Равс

Решение:

В задаче просят найти периметр треугольника АВС (P_ABC). На рисунке изображен треугольник АВС, в который вписана окружность. Точки М, N, К являются точками касания этой окружности со сторонами треугольника.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Из точки А к окружности проведены касательные АК и АМ. Следовательно, AK = AM.

Из точки В к окружности проведены касательные ВМ и BN. Следовательно, BM = BN.

Из точки С к окружности проведены касательные CN и СК. Следовательно, CN = CK.

На рисунке указаны длины некоторых отрезков:

• AK = 5
• AM = 5 (так как AK = AM)
• BN = 4
• BM = 4 (так как BN = BM)
• CN = 8
• CK = 8 (так как CN = CK)

Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон:

P_ABC = AB + BC + AC

Сторона AB = AM + MB = 5 + 4 = 9.

Сторона BC = BN + NC = 4 + 8 = 12.

Сторона AC = AK + KC = 5 + 8 = 13.

P_ABC = 9 + 12 + 13 = 34.

Ответ: 34