5. Рис. 651. Дано: М, N, K - точка касания. Найти: Рabc.

Решение:

По рисунку, \( M, N, K \) — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника \( ABC \).

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, длины отрезков касательных от точки до точек касания равны.

Из точки \( A \) касательные \( AM \) и \( AK \). Значит, \( AM = AK \).

Из точки \( B \) касательные \( BM \) и \( BN \). Значит, \( BM = BN \).

Из точки \( C \) касательные \( CN \) и \( CK \). Значит, \( CN = CK \).

По условию задачи:

• \( AK = 5 \) (из \( A \) к \( K \) и \( M \))
• \( BN = 4 \) (из \( B \) к \( N \) и \( M \))
• \( CK = 8 \) (из \( C \) к \( K \) и \( N \))

Тогда:

• \( AM = AK = 5 \)
• \( BM = BN = 4 \)
• \( CN = CK = 8 \)

Периметр треугольника \( P_{ABC} \) равен сумме длин всех его сторон: \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).

\( AB = AM + MB = 5 + 4 = 9 \)

\( BC = BN + NC = 4 + 8 = 12 \)

\( AC = AK + KC = 5 + 8 = 13 \)

\( P_{ABC} = 9 + 12 + 13 = 34 \)

Ответ: \( P_{ABC} = 34 \).