5. Рис. 651. Дано: М, N, K – точки касания. Найти: Р_АВС.

Решение:

Периметр \( \triangle ABC \) равен сумме длин его сторон: \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).

Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Пусть \( AM = AK = x \), \( BM = BN = y \), \( CN = CK = z \).

По условию имеем:

• \( AB = AM + MB = x + y = 4 \)
• \( BC = BN + NC = y + z = 8 \)
• \( AC = AK + KC = x + z = 5 \)

Сложим все три уравнения:

\( (x + y) + (y + z) + (x + z) = 4 + 8 + 5 \)

\( 2x + 2y + 2z = 17 \)

\( 2(x + y + z) = 17 \)

\( x + y + z = \frac{17}{2} = 8.5 \)

Теперь найдём стороны треугольника:

• \( AB = x + y = 4 \)
• \( BC = y + z = 8 \)
• \( AC = x + z = 5 \)

Периметр \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 4 + 8 + 5 = 17 \).

Ответ: \( P_{ABC} = 17 \).