№5. (С2) Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через вершину D₁ и середины рёбер AB и BC.

Обозначим через P середину AB, через Q — середину BC. На грани ABCD отрезок PQ лежит в плоскости сечения. По граням куба последовательно получаем сечение P–Q–S–D₁–R, где R лежит на AA₁, а S — на CC₁.

Проверим положения R и S. Возьмём координаты куба: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), а верхние вершины имеют координату z=1. Тогда P=(0.5,0,0), Q=(1,0.5,0), D₁=(0,1,1). Уравнение плоскости через эти точки: \(2x-2y+3z=1\). На ребре AA₁ имеем x=y=0, поэтому z=1/3; на ребре CC₁ имеем x=y=1, поэтому z=1/3. Значит, AR=CS=\(\frac13\) высоты куба.

Ответ: сечение — пятиугольник PQD₁R S в порядке обхода P–Q–S–D₁–R–P; R ∈ AA₁, S ∈ CC₁, AR=CS=⅓ ребра куба.