5. Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно −2019, потому что 1 − 2025 + 5 = −2019. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.

Пусть числа списка обозначены через \(a_1,a_2,\ldots\). По условию \(a_1=1\), \(a_2=2025\), а для каждого следующего числа \(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}+5\).

Проверим пример: \(a_3=2025-1+5=2029\), но в условии написано \(1-2025+5=-2019\). Значит, формула и пример противоречат друг другу: в формуле вычитается предпоследнее число из последнего, а в примере порядок вычитания обратный.

Если следовать формулировке правила, то \(a_3=2029\). Далее \(a_4=2029-2025+5=9\), \(a_5=9-2029+5=-2015\). Для суммы можно сгруппировать числа по три. Из рекуррентного правила следует \(a_n+a_{n-1}=a_{n-2}+5\); последовательное применение показывает, что сумма первых 100 чисел равна \(50(a_1+a_2)+5\cdot 49\). Поэтому \(S_{100}=50(1+2025)+245=101545\).

Если же считать, что пример задаёт предполагаемое правило, то оно должно быть \(a_n=a_{n-2}-a_{n-1}+5\), откуда первые числа: \(1,2025,-2019,2029,-2015,\ldots\). Эта последовательность имеет период 4, и сумма каждых четырёх соседних чисел равна 36. За 100 чисел получится \(25\cdot36=900\).

Ответ: условие неоднозначно. По записанному правилу сумма равна 101545; если правило исправить в соответствии с примером, сумма равна 900.