5. Саша записал к себе в тетрадь трёхзначное число без нулей, а также все числа, которые можно получить из него перестановкой цифр. Например, для числа 552 Саша запишет три числа: 552, 255 и 525. Может ли сумма чисел, которые записал Саша, быть простым числом?

Решение:

Пусть трёхзначное число, записанное Сашей, имеет вид \( abc \), где \( a, b, c \) — цифры от 1 до 9. Числа, которые можно получить перестановкой цифр:

• Если все цифры разные, например \( 123 \), то числа будут \( 123, 132, 213, 231, 312, 321 \). Сумма цифр \( a+b+c \) делится на 3, если само число делится на 3. Так как все перестановки имеют одну и ту же сумму цифр, то все эти числа делятся на 3. Их сумма также будет делиться на 3.
• Если две цифры одинаковые, например \( 552 \), то числа будут \( 552, 525, 255 \). Сумма этих чисел: \( 552 + 525 + 255 = 1332 \). Число 1332 делится на 3 ( \( 1+3+3+2=9 \) ), значит, оно не является простым.
• Если все три цифры одинаковые, например \( 555 \), то число одно: \( 555 \). Сумма цифр \( 5+5+5 = 15 \), число делится на 3, значит, оно не является простым.

Ответ: Нет, сумма чисел, которые записал Саша, не может быть простым числом.