5. Саша записал к себе в тетрадь трёхзначное число без нулей, а также все числа, которые можно получить из него перестановкой цифр. Например, для числа 552 Саша запишет три числа: 552, 255 и 525. Может ли сумма чисел, которые записал Саша, быть простым числом?

Решение:

Пусть трёхзначное число, записанное Сашей, имеет вид \( abc \), где \( a, b, c \) — цифры, отличные от нуля. Все числа, которые можно получить перестановкой цифр, имеют вид:

• \( 100a + 10b + c \)
• \( 100a + 10c + b \)
• \( 100b + 10a + c \)
• \( 100b + 10c + a \)
• \( 100c + 10a + b \)
• \( 100c + 10b + a \)

Сумма всех этих чисел равна:

\( S = (100a+10b+c) + (100a+10c+b) + (100b+10a+c) + (100b+10c+a) + (100c+10a+b) + (100c+10b+a) \)

Сгруппируем слагаемые по \( a, b, c \):

\( S = (100a+100a+10a+a+10a+a) + (10b+b+100b+100b+b+10b) + (c+10c+c+10c+100c+100c) \)

\( S = a(100+100+10+1+10+1) + b(10+1+100+100+1+10) + c(1+10+1+10+100+100) \)

\( S = a(222) + b(222) + c(222) \)

\( S = 222(a+b+c) \)

Число \( 222 \) делится на \( 2, 3, 6, 37, 74, 111 \).

Сумма \( a+b+c \) будет целым числом, поскольку \( a, b, c \) — цифры от 1 до 9.

По условию, \( a, b, c \) — ненулевые цифры. Минимальная сумма \( a+b+c \) равна \( 1+1+1=3 \) (если цифры повторяются, как в примере 552, то таких чисел будет меньше 6, но сумма все равно будет делиться на 37, так как \( 222 = 3 \times 74 \)).

В случае числа 552: \( a=5, b=5, c=2 \). Сумма цифр \( 5+5+2=12 \).

\( S = 222 \times 12 = 2664 \).

Число \( 2664 \) делится на \( 222 \), а значит, не может быть простым числом.

В общем случае, \( S = 222(a+b+c) \). Поскольку \( 222 \) делится на \( 37 \) ( \( 222 = 6 \times 37 \) ), то и сумма \( S \) всегда будет делиться на \( 37 \). Если \( a+b+c > 1 \), то \( S \) будет составным числом.

Так как \( a, b, c \) — цифры без нулей, то \( a+b+c \nless 1 \), минимальная сумма \( a+b+c = 3 \) (например, для числа 111). В этом случае \( S = 222 \times 3 = 666 \).

Если цифры разные, например, 123, то \( a+b+c = 1+2+3 = 6 \). \( S = 222 \times 6 = 1332 \).

В любом случае, сумма \( S \) будет делиться на \( 37 \) и на \( 6 \), а значит, будет составным числом.

Ответ: Нет, сумма чисел, которые записал Саша, не может быть простым числом, так как она всегда делится на 37 (и на 6).