№ 5 (сб.) 2. Модули векторов а и б (рис. 3) соответственно равны 7 и 5. Постройте векторы суммы и разности векторов а и б. Чему равны модули векторов c = a + b, d = a - b, k = b - a?

Решение:

По условию задачи модули векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равны 7 и 5 соответственно. Для построения векторов суммы и разности, а также для нахождения их модулей, необходимо знать направление этих векторов. Так как на рисунке (рис. 3) векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) изображены вдоль одной прямой в одном направлении, будем считать, что они сонаправлены.

Построение векторов:

1. Вектор суммы \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \):

• Начало вектора \( \vec{c} \) совпадает с началом вектора \( \vec{a} \).
• Конец вектора \( \vec{c} \) совпадает с концом вектора \( \vec{b} \), приложенного к концу вектора \( \vec{a} \).

2. Вектор разности \( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} \):

• Начало вектора \( \vec{d} \) совпадает с началом вектора \( \vec{a} \).
• Конец вектора \( \vec{d} \) совпадает с концом вектора \( \vec{b} \), приложенного к началу вектора \( \vec{a} \) и направленного противоположно \( \vec{b} \).

3. Вектор разности \( \vec{k} = \vec{b} - \vec{a} \):

• Начало вектора \( \vec{k} \) совпадает с началом вектора \( \vec{b} \).
• Конец вектора \( \vec{k} \) совпадает с концом вектора \( \vec{a} \), приложенного к началу вектора \( \vec{b} \) и направленного противоположно \( \vec{a} \).

Нахождение модулей векторов:

Так как векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) сонаправлены:

1. Модуль вектора суммы: \( |\vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| = 7 + 5 = 12 \).
2. Модуль вектора разности: \( |\vec{d}| = |\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}| = 7 - 5 = 2 \).
3. Модуль вектора разности: \( |\vec{k}| = |\vec{b} - \vec{a}| = |\vec{b}| - |\vec{a}| = 5 - 7 = -2 \). Модуль не может быть отрицательным, поэтому \( |\vec{k}| = |-2| = 2 \).

Ответ: Модули векторов \( \vec{c} \), \( \vec{d} \) и \( \vec{k} \) равны 12, 2 и 2 соответственно.