5. Середины сторон квадрата на рисунке соединены отрезками. Докажите, что внутренний четырёхугольник является квадратом, и найдите его площадь, если сторона внешнего квадрата равна 2 см. Заполните пропуски в решении.

1. Отсечённые треугольники являются прямоугольными и равнобедренными, значит, их острые углы равны 45°. Поэтому каждый угол внутреннего четырёхугольника равен 180° − (45° + 45°) = 90°. Значит, этот четырёхугольник — прямоугольник.
2. Отсечённые прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны, поэтому все стороны внутреннего прямоугольника равны, и по определению он является квадратом.
3. Диагонали внутреннего квадрата разделяют его на четыре треугольника, равных четырём отсечённым треугольникам. Площадь внешнего квадрата равна 2² = 4 см². Следовательно, площадь внутреннего квадрата равна половине площади внешнего квадрата, то есть 2 см².

Пояснение: соединение середин противоположных сторон внешнего квадрата даёт диагонали внутреннего квадрата. Они делят его на четыре треугольника, каждый из которых равен одному из четырёх угловых треугольников. Значит, площадь внутреннего квадрата равна площади четырёх угловых треугольников, то есть половине площади внешнего квадрата.

Ответ: 2 см².