5. Сила тяги двигателя лифта совершает полезную работу \(A_{пол} = 300\) кДж, поднимая пассажиров. Масса кабины \(m_к = 60\) кг, высота подъема \(h = 10\) м. Определите КПД подъемника лифта. Примите \(g = 10\) \(\frac{Н}{кг}\).

Дано:

\(A_{пол} = 300\) кДж = \(300000\) Дж

\(m_к = 60\) кг

\(h = 10\) м

\(g = 10\) \(\frac{Н}{кг}\)

Найти:

КПД

Решение:

КПД (коэффициент полезного действия) определяется как отношение полезной работы к полной работе, умноженное на 100%:

\[ \text{КПД} = \frac{A_{пол}}{A_{полн}} \cdot 100\% \]

Полезная работа — это работа по подъему пассажиров, которая дана. Полная работа — это работа, совершаемая двигателем, которая идет на подъем кабины с пассажирами и на преодоление силы трения (которая в данном случае не учитывается, но должна быть включена в полную работу, однако нам дано, что \(A_{пол}\) — это полезная работа, а для расчета КПД нам нужна полная работа. По условию, \(A_{пол}\) — это полезная работа. В условии задачи не указано, что \(A_{пол}\) — это работа по подъему груза. Но фраза \(A_{пол} = 300\) кДж, поднимая пассажиров, указывает, что \(A_{пол}\) — это и есть полезная работа. А для расчета КПД нам нужна полная работа, которая совершается двигателем. По условию же, \(A_{пол}\) — это полезная работа, совершаемая силой тяги двигателя. Для расчета КПД нам нужно знать либо полную работу, либо работу, совершаемую против сил трения. Предположим, что \(A_{пол}\) — это полезная работа, а полная работа — это работа, совершенная двигателем. В этой задаче, скорее всего, предполагается, что \(A_{пол}\) — это работа по подъему полезной нагрузки (пассажиров), а полная работа — это работа, совершаемая двигателем. Но в условии не сказано, как она связана с \(A_{пол}\).

Вариант 1: Если \(A_{пол}\) — это работа по подъему груза, а полная работа — это работа, совершенная двигателем, которую мы не знаем.

Вариант 2: Если \(A_{пол}\) — это полезная работа, а полная работа — это сумма полезной работы и работы против сил трения, которую мы не знаем.

Вариант 3: Возможно, в задаче подразумевается, что \(A_{пол}\) — это полезная работа, а полная работа — это работа, совершаемая двигателем. Но для расчета КПД мы должны знать полную работу.

Возможно, имеется в виду, что \(A_{пол}\) — это та работа, которую совершает двигатель, и она является полезной. Но это противоречит определению КПД.

Давайте предположим, что \(A_{пол}\) = 300 кДж — это полезная работа (работа по подъему пассажиров), а для полной работы нам нужно учесть работу подъема самой кабины.

Работа по подъему кабины:

\[ A_{каб} = m_к g h \]

\[ A_{каб} = 60 \text{ кг} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 10 \text{ м} = 6000 \text{ Дж} \]

Если \(A_{пол}\) = 300 кДж = 300000 Дж — это работа по подъему пассажиров, то полная работа, совершаемая двигателем, будет:

\[ A_{полн} = A_{пол} + A_{каб} \]

\[ A_{полн} = 300000 \text{ Дж} + 6000 \text{ Дж} = 306000 \text{ Дж} \]

Теперь рассчитаем КПД:

\[ \text{КПД} = \frac{A_{пол}}{A_{полн}} \cdot 100\% = \frac{300000 \text{ Дж}}{306000 \text{ Дж}} \cdot 100\% \]

\[ \text{КПД} \approx 0,9804 \cdot 100\% \approx 98,04\% \]

Однако, если \(A_{пол}\) = 300 кДж — это работа, совершенная силой тяги двигателя (то есть полная работа), то задача не имеет смысла, так как КПД не может быть 100% или более, если есть полезная работа.

Чаще всего в таких задачах \(A_{пол}\) — это полезная работа (подъем груза), а полная работа — это работа, совершаемая двигателем. Если в условии сказано, что \(A_{пол}\) — это полезная работа, то полная работа должна включать подъем кабины.

Перечитывая условие: "Сила тяги двигателя лифта совершает полезную работу \(A_{пол} = 300\) кДж, поднимая пассажиров." Это означает, что \(A_{пол}\) = 300 кДж — это работа по подъему именно пассажиров, а не всей системы (кабина + пассажиры).

Следовательно, полная работа будет включать работу по подъему кабины и работу по подъему пассажиров.

Работа по подъему кабины:

\[ A_{каб} = m_к g h = 60 \text{ кг} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 10 \text{ м} = 6000 \text{ Дж} = 6 \text{ кДж} \]

Полезная работа (подъем пассажиров) = 300 кДж.

Полная работа (совершаемая двигателем) = Полезная работа (пассажиры) + Работа (кабина)

\[ A_{полн} = 300 \text{ кДж} + 6 \text{ кДж} = 306 \text{ кДж} \]

Теперь рассчитаем КПД:

\[ \text{КПД} = \frac{A_{пол}}{A_{полн}} \cdot 100\% = \frac{300 \text{ кДж}}{306 \text{ кДж}} \cdot 100\% \]

\[ \text{КПД} \approx 0,9804 \cdot 100\% \approx 98,04\% \]

Если же \(A_{пол}\) = 300 кДж — это работа, совершаемая силой тяги двигателя, то это полная работа. Но тогда задача некорректна, так как полезная работа не может быть равна полной.

Предполагаем, что \(A_{пол}\) = 300 кДж - это полезная работа по подъему пассажиров.

Ответ: КПД подъемника лифта примерно 98%.