5. Сколько из изображенных на рисунке графов можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги?

Решение:

Граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, если он имеет 0 или 2 вершины с нечётной степенью (теорема Эйлера).

1. Первый граф (три ромба): Все 6 вершин имеют степень 4 (чётная). Можно нарисовать.
2. Второй граф (пять прямых): Две крайние вершины имеют степень 1 (нечётная), три средние — степень 3 (нечётная). Всего 5 вершин с нечётной степенью. Нельзя нарисовать.
3. Третий граф (звезда): Все 5 вершин имеют степень 2 (чётная). Можно нарисовать.
4. Четвёртый граф (конверт): Две вершины имеют степень 3 (нечётная), две вершины имеют степень 2 (чётная). Всего 2 вершины с нечётной степенью. Можно нарисовать.

Ответ: 3.