5. Сократите дробь: $$\frac{3x-2}{-24x^2+31x-10}$$

Решение:

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(-24x^2 + 31x - 10 = 0\).

Умножим на -1, чтобы привести к стандартному виду: \(24x^2 - 31x + 10 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-31)^2 - 4 \cdot 24 \cdot 10 = 961 - 960 = 1\).

Корни: \(x_1 = \frac{31 + \sqrt{1}}{2 \cdot 24} = \frac{31 + 1}{48} = \frac{32}{48} = \frac{2}{3}\)

\(x_2 = \frac{31 - \sqrt{1}}{2 \cdot 24} = \frac{31 - 1}{48} = \frac{30}{48} = \frac{5}{8}\)

Знаменатель можно записать как \(-24(x - \frac{2}{3})(x - \frac{5}{8}) = -(3x - 2)(8x - 5)\).

Теперь запишем дробь:

$$ \frac{3x - 2}{-(3x - 2)(8x - 5)} $$

Сокращаем общий множитель \((3x - 2)\), при условии, что \(3x - 2 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{2}{3}\).

Получаем:

$$ \frac{1}{-(8x - 5)} = \frac{1}{5 - 8x} $$

Ответ: $$\frac{1}{5 - 8x}$$