5. \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}=4\)

ОДЗ: \(x-1\ge 0\), поэтому \(x\ge 1\).

Пусть \(t=\sqrt{x-1}\), тогда \(t\ge 0\), а \(x=t^2+1\).

Подставим:

\[\sqrt{2(t^2+1)+3}+t=4\]

\[\sqrt{2t^2+5}=4-t\]

Возводим обе части в квадрат:

\[2t^2+5=(4-t)^2\]

\[2t^2+5=16-8t+t^2\]

\[t^2+8t-11=0\]

\[t=-4\pm\sqrt{27}=-4\pm3\sqrt3\]

Так как \(t\ge0\), берём \(t=3\sqrt3-4\).

Тогда

\[x=t^2+1=(3\sqrt3-4)^2+1=44-24\sqrt3\]

Проверка: найденное значение удовлетворяет исходному уравнению и ОДЗ.

Ответ: \(x=44-24\sqrt3\).