5. Среди натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100. Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдётся квадрат какого-нибудь целого числа? Выберите ответ: «Да, верно» или «Нет, неверно».

Разобьём числа от 1 до 100 на пары, сумма чисел в каждой из которых равна 100: (1, 99), (2, 98), …, (49, 51). Из каждой такой пары можно выбрать не более одного числа. Числа 50 и 100 в эти пары не входят.

Условие допускает выбрать по одному числу из каждой пары и дополнительно число 50 — всего 50 чисел. Например, в парах (1, 99), (4, 96), (9, 91), (16, 84), (25, 75), (36, 64), (49, 51), (19, 81) выбираем соответственно 99, 96, 91, 84, 75, 36, 51, 81; в остальных парах выбираем меньшее число, кроме пар, уже перечисленных, а число 100 не берём и добавляем 50. Чтобы избежать квадратов, в паре (36, 64) следует выбрать 64, а в паре (19, 81) — 19. В итоге из каждой пары выбирается ровно одно число, и среди выбранных нет квадратов целых чисел.

Ответ: нет, неверно.