5. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Обозначим CD = a. Тогда AD = 2a, а поскольку M — середина AD, имеем AM = MD = a. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = a.

Так как AB ∥ CD и AB = AM, четырёхугольник ABCM — параллелограмм: его противоположные стороны AB и CM параллельны и равны. Значит, CM ∥ AB и CM = AB = CD.

В треугольнике CDM равны стороны CD = DM = a, поэтому равны углы при основании: ∠DCM = ∠CMD. Поскольку CM ∥ AD, углы ∠CMD и ∠MCB равны как накрест лежащие при секущей CM и параллельных прямых AD и BC. Следовательно, ∠DCM = ∠MCB, то есть CM — биссектриса угла BCD.