5. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании.

1. Найдём площадь основания (S_осн):
   Сторона основания равна 10. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
   \( S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \) квадратных единиц.
2. Найдём апофему (h_a):
   Апофема — высота боковой грани пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания равна \( \frac{10}{2} = 5 \). Боковое ребро равно 13.
   По теореме Пифагора: \( h_a^2 + 5^2 = 13^2 \)
   \( h_a^2 + 25 = 169 \)
   \( h_a^2 = 169 - 25 = 144 \)
   \( h_a = \sqrt{144} = 12 \) единиц.
3. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок):
   Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
   Периметр основания \( P = 4 \times 10 = 40 \) единиц.
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times P \times h_a = \frac{1}{2} \times 40 \times 12 = 20 \times 12 = 240 \) квадратных единиц.
4. Найдём полную площадь поверхности (S_полн):
   Полная площадь поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
   \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 240 = 340 \) квадратных единиц.

Ответ: 340 квадратных единиц.