5. Стрелок стреляет по одному разу по каждой из пяти одинаковых мишеней. Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли, так как у нас есть фиксированное число испытаний (выстрелов), каждое испытание имеет два исхода (попадание или промах), вероятность успеха постоянна, и испытания независимы.

Формула Бернулли: \( P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где:

• \( n \) — число испытаний (мишеней, \( n = 5 \)).
• \( k \) — число успешных исходов (попаданий).
• \( p \) — вероятность успеха (поразить мишень, \( p = 0.8 \)).
• \( q \) — вероятность неудачи (промах, \( q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 \)).
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Вероятность поразить ровно 4 мишени:

Здесь \( n = 5 \), \( k = 4 \), \( p = 0.8 \), \( q = 0.2 \).

\( C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \)

\( P(4) = C_5^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^{5-4} = 5 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 \)

\( (0.8)^4 = 0.4096 \)

\( P(4) = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 5 \cdot 0.08192 = 0.4096 \)

2. Вероятность поразить ровно 3 мишени:

Здесь \( n = 5 \), \( k = 3 \), \( p = 0.8 \), \( q = 0.2 \).

\( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)

\( P(3) = C_5^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^{5-3} = 10 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^2 \)

\( (0.8)^3 = 0.512 \)

\( (0.2)^2 = 0.04 \)

\( P(3) = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 10 \cdot 0.02048 = 0.2048 \)

3. Во сколько раз вероятность поразить 4 мишени больше вероятности поразить 3 мишени:

Для этого разделим \( P(4) \) на \( P(3) \).

\( \frac{P(4)}{P(3)} = \frac{0.4096}{0.2048} = 2 \)

Ответ: Вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» в 2 раза больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени».