5. Существуют ли такие попарно различные числа a, b и c, что число a является корнем квадратного трёхчлена x² – 2bz+c², число b является корнем квадратного трёхчлена x² – 2cx+a², а число c является корнем квадратного трёхчлена x² – 2ax+b².

Дано:

• Числа a, b, c попарно различны.
• Условие 1: \( a \) — корень \( x^2 - 2bx + c^2 = 0 \)
• Условие 2: \( b \) — корень \( x^2 - 2cx + a^2 = 0 \)
• Условие 3: \( c \) — корень \( x^2 - 2ax + b^2 = 0 \)

Решение:

Из условия, что \( a \) является корнем первого трёхчлена, следует:

\[ a^2 - 2ba + c^2 = 0 \quad (1) \]

Из условия, что \( b \) является корнем второго трёхчлена, следует:

\[ b^2 - 2cb + a^2 = 0 \quad (2) \]

Из условия, что \( c \) является корнем третьего трёхчлена, следует:

\[ c^2 - 2ac + b^2 = 0 \quad (3) \]

Перепишем уравнения:

\[ c^2 = 2ba - a^2 \quad (1') \]

\[ a^2 = 2cb - b^2 \quad (2') \]

\[ b^2 = 2ac - c^2 \quad (3') \]

Сложим уравнения (1), (2), (3):

\[ (a^2 - 2ba + c^2) + (b^2 - 2cb + a^2) + (c^2 - 2ac + b^2) = 0 \]

\[ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0 \]

Разделим на 2:

\[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0 \]

Умножим на 2:

\[ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0 \]

\[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0 \]

Сумма квадратов трех действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю:

\[ (a - b)^2 = 0  a - b = 0  a = b \]

\[ (b - c)^2 = 0  b - c = 0  b = c \]

\[ (c - a)^2 = 0  c - a = 0  c = a \]

Таким образом, \( a = b = c \). Однако по условию задачи числа \( a, b, c \) попарно различны. Это противоречие.

Следовательно, таких различных чисел \( a, b, c \) не существует.

Ответ: Не существуют.