5. Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода. Обозначив собственную скорость теплохода через х км/ч, составьте уравнение, соответствующее условию задачи, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда:

• Скорость теплохода по течению: \( (x + 3) \) км/ч.
• Скорость теплохода против течения: \( (x - 3) \) км/ч.
• Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{108}{x + 3} \) часов.
• Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{84}{x - 3} \) часов.
• Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 8 \) часов.

Составим уравнение:

\[ \frac{108}{x + 3} + \frac{84}{x - 3} = 8 \]

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить:

\[ \frac{27}{x + 3} + \frac{21}{x - 3} = 2 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (x + 3)(x - 3) \):

\[ \frac{27(x - 3) + 21(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 2 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{27x - 81 + 21x + 63}{x^2 - 9} = 2 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{48x - 18}{x^2 - 9} = 2 \]

Умножим обе части на \( x^2 - 9 \) (при условии \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \)):

\[ 48x - 18 = 2(x^2 - 9) \]

Раскроем скобки:

\[ 48x - 18 = 2x^2 - 18 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 2x^2 - 48x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 2x \):

\[ 2x(x - 24) = 0 \]

Корни уравнения:

• \( 2x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 0 \) (не подходит, так как скорость не может быть 0)
• \( x - 24 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 24 \)

Собственная скорость теплохода должна быть больше скорости течения, то есть \( x > 3 \). Значение \( x = 24 \) удовлетворяет этому условию.

Ответ: Уравнение, соответствующее условию задачи: \( \frac{108}{x + 3} + \frac{84}{x - 3} = 8 \). Собственная скорость теплохода: 24 км/ч.