Ответ:

  1. Напротив двери висел пёстрый плакат. «Напротив» — производный предлог, пишется слитно и употребляется с родительным падежом: напротив чего? двери.

  2. Моя сестра волновалась в продолжение всего экзамена. «В продолжение» — производный предлог со значением времени; пишется раздельно, на конце — е.

  3. «В силу» здесь не предлог: сестра верит во что? В силу и выдержку спортсменов — это существительное «сила» с предлогом «в».

  4. Бумажный кораблик сразу попал в течение ручейка. Здесь «течение» — существительное в значении «поток, движение воды», а не производный предлог; пишется раздельно, окончание — е.

Ответ: предложения 1 и 2.