5. Тип 5 № 1422. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 3√5. В отвели запишите найденное значение, умноженное на √2.

Решение:

Пусть ABCD — прямоугольная трапеция с основаниями AD и BC. Дано:

• Диагональ \( BD = 10 \)
• Угол \( A = 45^{\circ} \)
• Меньшее основание \( BC = 3\sqrt{5} \)

Так как трапеция прямоугольная, угол B равен \( 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол DAB = \( 45^{\circ} \). Так как сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), то угол ADB = \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник ABD равнобедренный, и \( AB = AD \).

Из теоремы Пифагора для треугольника ABD:

\[ AB^2 + AD^2 = BD^2 \]\[ 2 AB^2 = 10^2 \]\[ AB^2 = \frac{100}{2} = 50 \]\[ AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Найдём большую боковую сторону.

В прямоугольной трапеции боковые стороны — это AB и CD.

Мы нашли, что \( AB = 5\sqrt{2} \).

Чтобы найти CD, проведём высоту CH из вершины C к основанию AD. Тогда BCDH будет прямоугольником, и \( CH = BC = 3\sqrt{5} \), \( BH = CD \).

Найдём HD: \( HD = AD - AH \). Так как ABCD — трапеция, AD || BC. Проведём высоту BK из B к AD. Тогда ABKD — прямоугольник, и \( BK = AB = 5\sqrt{2} \).

В прямоугольнике ABKD, \( AK = BD = 10 \).

В прямоугольном треугольнике ABD, \( AB = AD \).

По теореме Пифагора для треугольника ABD: \( AB^2 + AD^2 = BD^2 \). Так как \( AB=AD \), то \( 2 AB^2 = 100 \), \( AB^2 = 50 \), \( AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).

Следовательно, \( AD = 5\sqrt{2} \).

Теперь найдём CD. Проведём высоту BK из B на AD. Тогда ABKD - прямоугольник, \( AK = BD = 10 \).

Рассмотрим треугольник BKD. \( BK = AB = 5\sqrt{2} \).

Так как \( AD = 5\sqrt{2} \), и \( AK = 10 \), то \( KD = AD - AK \) ? Это неверно.

Проведём высоту BK из B на AD. Так как трапеция прямоугольная, \( AB ⊥ AD \) и \( AB ⊥ BC \).

Из \( \triangle ABD \): \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle ABD = 45^{\circ} \), \( \angle ADB = 90^{\circ} \). Это неверно. Угол ADB равен 45 градусов, если угол A = 45. Тогда ABD равнобедренный, AB=AD.

У нас прямоугольная трапеция, значит \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \).

Дан угол \( A = 45^{\circ} \) — это угол при основании. Следовательно, это не прямоугольная трапеция, а трапеция с одним прямым углом.

Пусть \( AB ⊥ AD \). Тогда \( \angle A = 90^{\circ} \). Но нам дано \( \angle A = 45^{\circ} \). Значит, \( AB \) — боковая сторона, и \( \angle A \) — один из углов при основании.

Из условия: прямоугольная трапеция ABCD. Это значит, что один из углов при боковой стороне равен \( 90^{\circ} \). Пусть \( AB ⊥ AD \) и \( AB ⊥ BC \). Тогда \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \).

Но в условии сказано, что \( \angle A = 45^{\circ} \). Значит, это не прямоугольная трапеция в классическом понимании (с двумя прямыми углами у боковой стороны). Текст «прямоугольной трапеции» означает, что у неё есть прямой угол, например, \( \angle D = 90^{\circ} \) или \( \angle C = 90^{\circ} \).

Предположим, что \( AD \) и \( BC \) — основания. Углы при основании \( AD \) — \( \angle A \) и \( \angle D \). Углы при основании \( BC \) — \( \angle B \) и \( \angle C \).

Если трапеция прямоугольная, то у нее есть боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Пусть это будет AB. Тогда \( AB ⊥ AD \) и \( AB ⊥ BC \). Тогда \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \).

Но нам дано \( \angle A = 45^{\circ} \). Это противоречие.

Значит, «прямоугольная трапеция» означает, что один из углов при основании равен \( 90^{\circ} \). Пусть \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \). Тогда CD — высота. AD и BC — основания.

В этом случае, \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle D = 90^{\circ} \). Диагональ \( BD = 10 \). Меньшее основание \( BC = 3\sqrt{5} \).

Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle C = 90^{\circ} \), \( BC = 3\sqrt{5} \), \( BD = 10 \). По теореме Пифагора:

\[ CD^2 + BC^2 = BD^2 \]\[ CD^2 + (3\sqrt{5})^2 = 10^2 \]\[ CD^2 + 45 = 100 \]\[ CD^2 = 100 - 45 = 55 \]\[ CD = \sqrt{55} \]

Теперь найдём AD.

Рассмотрим \( \triangle ABD \). \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle D = 90^{\circ} \) (т.к. CD — высота, а AD || BC, то \( \angle D \) при основании AD равно \( 90^{\circ} \)).

Проведём высоту BK из B к AD. Тогда BCDK — прямоугольник, \( BK = CD = \sqrt{55} \), \( KD = BC = 3\sqrt{5} \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle AKB = 90^{\circ} \). Значит, \( \angle ABK = 45^{\circ} \). Треугольник ABK равнобедренный, \( AB = BK = \sqrt{55} \).

Тогда \( AD = AK + KD = AB + KD \) (если K лежит между A и D) или \( AD = KD - AK \) (если A лежит между K и D).

В \( \triangle ABD \) у нас \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \).

Если \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \), то \( \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Тогда \( \triangle ABD \) равнобедренный, \( AB = AD \).

Но \( BD = 10 \). По теореме Пифагора для \( \triangle ABD \):

\[ AD^2 + AB^2 = BD^2 \]\[ 2 AD^2 = 10^2 \]\[ AD^2 = 50 \]\[ AD = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Это противоречие с тем, что \( \angle D = 90^{\circ} \).

Давайте перечитаем условие: «В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC...».

Это значит, что один из углов при основании равен \( 90^{\circ} \) И боковая сторона перпендикулярна этому основанию. Пусть \( AB ⊥ AD \) и \( AB ⊥ BC \). Тогда \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \). Но нам дано \( \angle A = 45^{\circ} \).

Другой вариант: \( CD ⊥ AD \) и \( CD ⊥ BC \). Тогда \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \). И AD и BC — основания. Тогда \( \angle A = 45^{\circ} \) — это угол при основании AD.

Итак, \( CD ⊥ AD \), \( CD ⊥ BC \), \( \angle A = 45^{\circ} \), \( BD = 10 \), \( BC = 3\sqrt{5} \).

Из \( \triangle BCD \) (прямоугольный): \( CD^2 + BC^2 = BD^2 \) \( CD^2 + (3\sqrt{5})^2 = 10^2 \) \( CD^2 + 45 = 100 \) \( CD^2 = 55 \) \( CD = \sqrt{55} \).

Теперь \( \triangle ABD \). \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle D = 90^{\circ} \). Из этого следует, что \( \angle ABD = 45^{\circ} \). Значит, \( \triangle ABD \) равнобедренный, \( AB = AD \).

По теореме Пифагора: \( AB^2 + AD^2 = BD^2 \) \( 2 AD^2 = 10^2 \) \( AD^2 = 50 \) \( AD = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).

Тогда \( AB = 5\sqrt{2} \).

Боковые стороны — AB и CD. \( AB = 5\sqrt{2} \), \( CD = \sqrt{55} \).

Сравним \( 5\sqrt{2} \) и \( \sqrt{55} \). \( (5\sqrt{2})^2 = 50 \). \( (\sqrt{55})^2 = 55 \).

Следовательно, \( CD > AB \). Большая боковая сторона — CD.

Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 3√5. В отвели запишите найденное значение, умноженное на √2.

Мы нашли большую боковую сторону \( CD = \sqrt{55} \).

Нужно записать \( CD \times \sqrt{2} \).

\[ \sqrt{55} \times \sqrt{2} = \sqrt{110} \]

Проверим условие «меньшее основание равно 3√5».

У нас основания AD и BC. \( BC = 3\sqrt{5} \). \( AD = 5\sqrt{2} \).

Сравним \( 3\sqrt{5} \) и \( 5\sqrt{2} \). \( (3\sqrt{5})^2 = 45 \). \( (5\sqrt{2})^2 = 50 \).

Значит, \( BC < AD \). \( BC \) — меньшее основание. Это соответствует условию.

Боковые стороны — AB и CD. \( AB = 5\sqrt{2} \). \( CD = \sqrt{55} \). \( AB^2 = 50 \), \( CD^2 = 55 \). \( CD > AB \). Большая боковая сторона — CD.

Значение, которое нужно записать: \( CD \times \sqrt{2} = \sqrt{55} \times \sqrt{2} = \sqrt{110} \).

Ответ: \( \sqrt{110} \).