5. Точка E — середина стороны BC параллелограмма ABCD. На отрезок AE опустили перпендикуляр DH. Найдите длину этого перпендикуляра, если HE=1, AH=3, а угол BAE равен 45°.

Так как точки A, H и E лежат на одной прямой,

\[AE=AH+HE=3+1=4.\]

Поскольку E — середина BC, вектор \(\overrightarrow{EC}\) равен \(\overrightarrow{BE}\). Для параллелограмма получаем:

\[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}.\]

Проекция отрезка \(AD\) на направление \(AE\) равна разности проекций \(AE\) и \(AH\):

\[AE-AH=4-3=1.\]

Угол между \(AB\) и \(AE\) равен \(45^\circ\), поэтому перпендикулярная составляющая вектора \(AD\) равна его продольной составляющей, умноженной на 2:

\[DH=2(AE-AH)=2\cdot1=2.\]

Однако с учётом того, что \(D\) получается удвоением вектора \(BE\), а проекция \(BE\) на направление \(AE\) равна \(\frac{AE-AH}{2}\), имеем:

\[DH=2\cdot\frac{AE-AH}{2}\cdot 2=2(AE-AH)=2.\]

Ответ: 2.