5) Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону равнобедренного треугольника на отрезки 3 см и 5 см, считая от основания. Найти периметр треугольника.

Решение:

• Обозначения: Пусть данный равнобедренный треугольник — ABC, где AB = BC. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках M, N, K соответственно. По условию, точка касания на боковой стороне делит ее на отрезки 3 см и 5 см. Есть два варианта, как эти отрезки могут быть расположены:
• Вариант 1: Точка касания делит сторону так, что отрезок от основания (вершины C) равен 3 см, а отрезок до вершины (A) равен 5 см. Тогда боковая сторона BC = 3 см + 5 см = 8 см.
• Вариант 2: Точка касания делит сторону так, что отрезок от основания (вершины C) равен 5 см, а отрезок до вершины (A) равен 3 см. Тогда боковая сторона BC = 5 см + 3 см = 8 см.
• Свойства касательных: Из вершины C к окружности проведены две касательные — CK и CN. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Поэтому CN = CK = 3 см (или 5 см, в зависимости от варианта).
• Основание треугольника: Из вершины A к окружности проведены две касательные — AK и AM. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Поэтому AM = AK.
• Равенство отрезков: В равнобедренном треугольнике отрезки касательных от основания к боковым сторонам равны. То есть, если CK = 3 см (отрезок от основания), то и AK = 3 см.
• Вычисление сторон:
• Боковая сторона (BC): Из Варианта 1 и 2 следует, что боковая сторона равна 8 см.
• Основание (AC): Основание AC состоит из двух отрезков: AK и KC. По свойствам касательных, AK = AM, а KC = CN. Так как AK = 3 см (по свойству касательных от вершины A), а KC = 3 см (по условию, отрезок от основания C), то AC = AK + KC = 3 см + 3 см = 6 см.
• Периметр треугольника: Периметр (P) — это сумма длин всех сторон треугольника.
• P = AB + BC + AC
• Поскольку треугольник равнобедренный, AB = BC = 8 см.
• P = 8 см + 8 см + 6 см
• P = 22 см

Ответ: Периметр треугольника равен 22 см.