5. Точка M принадлежит ребру CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте прямую пересечения плоскостей A₁DM и D₁B₁A.

Обозначим через O середину ребра DD₁. Точка O принадлежит плоскости A₁DM: она лежит на прямой A₁D₁? Нет, для построения используем плоскость через D и A₁: её пересечение с гранями куба позволяет найти нужную точку. Проверим координатами.

Пусть куб задан координатами A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), а верхние вершины имеют координату z=1. Тогда плоскость D₁B₁A задаётся уравнением x+y−z=0. Если M=(1;1;t), где 0≤t≤1, то плоскость A₁DM задаётся уравнением tx−y−z+1=0.

На ребре DD₁ имеем x=0, y=1. Уравнение первой плоскости пересечения даёт z=1, то есть общая точка плоскостей на этом ребре — D₁. Но D₁ уже лежит в плоскости D₁B₁A; при этом D₁ не лежит в плоскости A₁DM в общем случае. Поэтому вместо предположительного построения проверим общую линию: при x=0 условия обеих плоскостей требуют одновременно z=1 и z=0, что невозможно. Для второго общего пункта удобно использовать пересечение плоскости A₁DM с диагональю B₁D₁ верхней грани: обозначим его N. Тогда N лежит также в плоскости D₁B₁A, поскольку B₁D₁ — её прямая.

Постройте N как пересечение прямой B₁D₁ с плоскостью A₁DM; для этого в плоскости A₁DM проведите через A₁ прямую, параллельную DM, и найдите её пересечение с B₁D₁. Проведите через N прямую, параллельную общей прямой плоскостей.

В исходном условии не указано положение M на ребре CC₁, а указанное построение выше не даёт второго явного общего пункта без дополнительного обоснования. Нужен чертёж или уточнение условия, чтобы надёжно указать построение.