Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Точка О – середина биссектрисы АМ треугольника АВС. На стороне АС отмечена точка D такая, что DO ⊥ АМ. Докажите, что DM ||…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \) — биссектриса \( \angle A \). \( O \) — середина \( AM \). \( D \) — точка на \( AC \), \( DO \perp AM \).

Доказать: \( DM \parallel AB \).

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle ADO \) и \( \triangle AMO \). Это не поможет.
  2. Рассмотрим \( \triangle ADM \) и \( \triangle ABM \).
  3. Построим отрезок \( DK \) параллельно \( AM \), где \( K \) — точка на \( AB \).
  4. Рассмотрим \( \triangle ADO \). \( O \) — середина \( AM \) и \( DO \perp AM \).
  5. В \( \triangle ADM \) проведем отрезок \( DO \). \( O \) — середина \( AM \) и \( DO \perp AM \).
  6. Это означает, что \( \triangle ADM \) является равнобедренным с \( AD = DM \), если \( O \) — середина \( AM \) и \( DO \) — высота. Однако \( O \) — середина \( AM \) и \( DO \perp AM \) означает, что \( DO \) — высота в \( \triangle ADM \) и \( O \) лежит на \( AM \).
  7. Рассмотрим \( \triangle ADM \). \( O \) — середина \( AM \). \( DO \perp AM \).
  8. В \( \triangle ADM \), \( DO \) — медиана (так как \( O \) — середина \( AM \)) и высота (так как \( DO \perp AM \)).
  9. Треугольник, у которого медиана является высотой, является равнобедренным. Следовательно, \( \triangle ADM \) — равнобедренный, и \( AD = DM \).
  10. Теперь докажем, что \( DM ‖ AB \).
  11. Поскольку \( AM \) — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle DAM = \angle BAM \).
  12. Рассмотрим \( \triangle ADM \) и \( \triangle ABM \).
  13. У нас есть \( AD = DM \) (из равнобедренного \( \triangle ADM \)).
  14. \( \angle DAM = \angle BAM \) ( \( AM \) — биссектриса).
  15. \( AM \) — общая сторона.
  16. Однако, это не два равных треугольника, так как \( – \) у нас нет равенства углов \( – \) \( – \) \( – \) \( – \)
  17. Переформулируем: \( O \) — середина \( AM \) и \( DO \perp AM \). Опустим перпендикуляр \( DO \) из \( O \) на \( AC \). \( O \) — середина \( AM \).
  18. Рассмотрим \( \triangle ADO \) и \( \triangle MKO \) где \( K \) — проекция \( O \) на \( AB \).
  19. Рассмотрим \( \triangle ADO \). \( – \)
  20. В \( \triangle ADM \), \( DO \) является одновременно медианой и высотой. Это означает, что \( \triangle ADM \) равнобедренный, и \( AD = DM \).
  21. Теперь нам нужно доказать, что \( DM ‖ AB \).
  22. Рассмотрим углы. \( \angle DAM = \angle BAM \) ( \( AM \) — биссектриса).
  23. В \( \triangle ADM \), \( AD = DM \). Значит, \( \angle DAM = \angle DMA \).
  24. Тогда \( \angle DMA = \angle BAM \).
  25. Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( DM \), \( AB \) и секущей \( AM \).
  26. Так как накрест лежащие углы равны, то \( DM ‖ AB \).

Доказано.