5. Точка О – середина биссектрисы АМ треугольника АВС. На стороне АС отмечена точка D такая, что DO ⊥ АМ. Докажите, что DM || AB.

Решение:

Дано: AM – биссектриса \(\triangle ABC\). O – середина AM. \(DO \perp AM\), точка D лежит на AC.

Доказать: \(DM \parallel AB\)

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle ADO\) и \(\triangle MDO\).
2. Так как \(DO \perp AM\), то \(\angle DOA = \angle DOM = 90^{\circ}\).
3. \(O\) – середина \(AM\), значит, \(AO = OM\).
4. \(DO\) – общая сторона для \(\triangle ADO\) и \(\triangle MDO\).
5. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства прямоугольных треугольников), \(\triangle ADO = \triangle MDO\) (по двум катетам, так как \(DO\) – общий катет, а \(AO = OM\) – равные катеты, и \(\angle DOA = \angle DOM = 90^{\circ}\)).
6. Из равенства треугольников следует, что \(AD = DM\) и \(\angle DAO = \angle DMO\).
7. Так как \(AM\) – биссектриса \(\angle BAC\), то \(\angle DAM = \angle MAB\).
8. \(\angle DAO = \angle DAM\) (так как точка D лежит на AC).
9. Следовательно, \(\angle DMO = \angle MAB\).
10. Углы \(\angle DMO\) и \(\angle MAB\) являются накрест лежащими при прямых \(DM\) и \(AB\) и секущей \(AM\).
11. Так как накрест лежащие углы равны, то \(DM \parallel AB\).

Что и требовалось доказать.