5. Точки M и N — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC.

Так как M — середина BC, а N — середина AD, из симметрии параллелограмма относительно O следует, что точки M и N также симметричны относительно O: OM = ON, и точки O, M, N лежат на одной прямой. Значит, O — середина диагонали MN четырёхугольника AMCN.

Диагонали AMCN — это AC и MN; они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма AMCN — параллелограмм.

Ответ: AMCN — параллелограмм.