5. Точки M, K и N делят отрезок AB в отношениях 1 : 2, 1 : 4, 1 : 5, считая от точки A. Найдите, в каком отношении делит отрезок MN точка K.

Понимаем заданные отношения соответственно как \(AM:MB=1:2\), \(AK:KB=1:4\), \(AN:NB=1:5\). Возьмём длину \(AB\) за единицу.

1. Тогда \(AM=\frac{1}{3}AB\), \(AK=\frac{1}{5}AB\), \(AN=\frac{1}{6}AB\). Порядок точек на отрезке: A, N, K, M, B.
2. Найдём части отрезка MN: \(MK=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)AB=\frac{2}{15}AB\), \(KN=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)AB=\frac{1}{30}AB\).
3. Следовательно, \(MK:KN=\frac{2}{15}:\frac{1}{30}=4:1\).

Ответ: точка K делит MN в отношении 4 : 1 (MK : KN).