5. Тонкая линза с оптической силой D = 7,5 дптр дает изображение предмета на экране, уменьшенное в пять раз. Определите расстояние от предмета до линзы.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про тонкую линзу.

Дано:

• Оптическая сила линзы: $$D = 7.5 \text{ дптр}$$
• Увеличение: $$\gamma = 5$$ (изображение уменьшено в 5 раз, значит, $$|0́/0| = 5$$, но так как изображение уменьшенное, то $$\gamma$$ для этого случая обычно считается как $$1/5$$, или мы просто используем соотношение $$|f/d|=5$$ для размеров, но $$d$$ и $$f$$ имеют свои знаки).

Найти:

• Расстояние от предмета до линзы: $$d$$

Решение:

1. Найдем фокусное расстояние линзы:

   Оптическая сила линзы $$D$$ связана с фокусным расстоянием $$F$$ соотношением: $$D = \frac{1}{F}$$. Фокусное расстояние $$F$$ должно быть в метрах, если $$D$$ в диоптриях.

   \[ F = \frac{1}{D} = \frac{1}{7.5} \text{ м} \]

   \[ F = \frac{1}{7.5} = \frac{10}{75} = \frac{2}{15} \text{ м} \]

   Переведем в сантиметры:

   \[ F = \frac{2}{15} \times 100 \text{ см} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \text{ см} \approx 13.33 \text{ см} \]

2. Воспользуемся формулой тонкой линзы:

   Формула тонкой линзы: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$, где $$d$$ — расстояние от предмета до линзы, $$f$$ — расстояние от изображения до линзы, $$F$$ — фокусное расстояние.

   Увеличение линзы $$\gamma$$ определяется как отношение расстояния от изображения до линзы к расстоянию от предмета до линзы: $$\gamma = -\frac{f}{d}$$.

   В условии сказано, что изображение уменьшено в пять раз. Это означает, что $$|f|/|d| = 5$$.

   Если линза собирающая (а оптическая сила $$D = 7.5 > 0$$, значит, линза собирающая), то для получения уменьшенного действительного изображения предмет должен находиться за двойным фокусом ($$d > 2F$$). В этом случае изображение будет действительным, перевернутым и уменьшенным.

   Для собирающей линзы, если изображение действительное, $$f > 0$$. Увеличение $$\gamma = -f/d$$. Так как изображение уменьшенное, то $$|f/d| = 1/5$$. Значит, $$f/d = -1/5$$, или $$f = -d/5$$. Но это противоречит тому, что изображение действительное ($$f>0$$).

   Давайте трактовать 'уменьшенное в пять раз' как отношение размеров: $$|f| = \frac{1}{5}|d|$$.

   Для собирающей линзы, чтобы получить уменьшенное действительное изображение, предмет должен быть расположен за двойным фокусом ($$d > 2F$$). В этом случае $$f < F$$ и $$f > 0$$. Увеличение $$|0́/0| = |f/d| = 1/5$$.

   Значит, $$|f| = \frac{1}{5}|d|$$.

   Подставим это в формулу тонкой линзы:

   \[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]

   \[ \frac{1}{d} + \frac{1}{\frac{1}{5}d} = \frac{1}{F} \]

   \[ \frac{1}{d} + \frac{5}{d} = \frac{1}{F} \]

   \[ \frac{6}{d} = \frac{1}{F} \]

   \[ d = 6F \]

   Теперь подставим значение фокусного расстояния:

   \[ d = 6 \times \frac{2}{15} \text{ м} = \frac{12}{15} \text{ м} = \frac{4}{5} \text{ м} = 0.8 \text{ м} \]

   В сантиметрах:

   \[ d = 0.8 \times 100 \text{ см} = 80 \text{ см} \]

   Проверим:

   Если $$d = 80$$ см, $$F = 40/3$$ см. $$d = 6F = 6 \times 40/3 = 2 \times 40 = 80$$ см. Это верно.

   Найдем $$f$$:

   \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{40/3} - \frac{1}{80} = \frac{3}{40} - \frac{1}{80} = \frac{6}{80} - \frac{1}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \]

   \[ f = 16 \text{ см} \]

   Проверим увеличение:

   \[ |\gamma| = |f/d| = |16/80| = 1/5 \]

   Изображение уменьшено в 5 раз. Это соответствует условию.

   Ответ: 80 см