5) Треугольник АВС - равнобедренный (AB=BC). BD- высота, угол С равен 30°, BD=4 м, АС= 6 м. Найдите периметр треугольника BDC.

Решение:

Дано:

• Треугольник ABC - равнобедренный (AB=BC)
• BD - высота
• \( \angle C = 30^{\circ} \)
• BD = 4 м
• AC = 6 м

Найти: Периметр треугольника BDC.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Но BD - высота, а основание AC. В данном случае BD опущена на основание AC, поэтому AD = DC = AC/2 = 6 м / 2 = 3 м.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (так как BD - высота, \( \angle BDC = 90^{\circ} \)).
3. Мы знаем катет BD = 4 м и угол C = 30°.
4. Найдем катет DC. Так как \( \tan C = \frac{BD}{DC} \), то \( DC = \frac{BD}{\tan C} = \frac{4}{\tan 30^{\circ}} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) м.
5. Найдем гипотенузу BC. Так как \( \sin C = \frac{BD}{BC} \), то \( BC = \frac{BD}{\sin C} = \frac{4}{\sin 30^{\circ}} = \frac{4}{1/2} = 8 \) м.
6. Периметр треугольника BDC равен сумме длин его сторон: \( P_{BDC} = BD + DC + BC \).
7. \( P_{BDC} = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3} \) м.

Ответ: Периметр треугольника BDC равен \( 12 + 4\sqrt{3} \) м.