5) Треугольник АВС - равнобедренный (АВ=ВС). BD- высота, угол C равен 30°, BD=4 м, АС= 6 м. Найдите периметр треугольника BDC.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) высота BD является также медианой и биссектрисой.

1. Так как BD — высота, то \( \angle BDA = \angle BDC = 90^{\circ} \).
2. В равнобедренном треугольнике ABC высота BD, проведенная к основанию AC, делит основание пополам. Следовательно, \( AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{6 \text{ м}}{2} = 3 \text{ м} \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Мы знаем катеты BD = 4 м и DC = 3 м.
4. Найдем гипотенузу BC по теореме Пифагора: \[ BC^2 = BD^2 + DC^2 \] \[ BC^2 = 4^2 + 3^2 \] \[ BC^2 = 16 + 9 \] \[ BC^2 = 25 \] \[ BC = \sqrt{25} = 5 \text{ м} \]
5. Так как треугольник ABC равнобедренный с AB=BC, то AB = 5 м.
6. Периметр треугольника BDC равен сумме длин его сторон: \( P_{BDC} = BD + DC + BC \).
7. \( P_{BDC} = 4 \text{ м} + 3 \text{ м} + 5 \text{ м} = 12 \text{ м} \).

Ответ: Периметр треугольника BDC равен 12 м.