№ 5. Трёхзначный код обладает следующими свойствами: если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 189; если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 99; исходный код делится на 11. Найдите исходный код.

Обозначим цифры кода через a, b, c. Исходное число — abc, где a — первая цифра.

1. Перенос первой цифры в конец даёт число bca. По условию: bca − abc = 189, то есть 10b + c − 11a = 21.
2. Запись цифр в обратном порядке даёт cba. Тогда cba − abc = 99, откуда 99(c − a) = 99, поэтому c = a + 1.
3. Подставим c = a + 1 в первое равенство: 10b − 10a = 20, значит, b = a + 2.
4. Число делится на 11, если разность суммы цифр на нечётных и чётных местах делится на 11: a − b + c = a − (a + 2) + (a + 1) = a − 1. Поскольку a — цифра от 1 до 9, кратным 11 числом a − 1 может быть только 0. Значит, a = 1.
5. Тогда b = 3, c = 2. Проверка: 321 − 132 = 189; 231 − 132 = 99; 132 делится на 11.

Ответ: 132.