5. У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. возведи в квадрат 2. прибавь b (b — неизвестное натуральное число) Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12122 переводит число 2 в число 72. Определите значение b.

Давай разберем эту задачу по шагам. У нас есть исполнитель "Квадратор" с двумя командами:

• Команда 1: возвести число в квадрат (x²).
• Команда 2: прибавить число b (x + b).

Программа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12122 переводит число 2 в число 72.

Решение:

1. Разбор программы: Программа 12122 означает: возвести в квадрат (1), прибавить b (2), возвести в квадрат (1), прибавить b (2), прибавить b (2).
2. Применение команд к числу 2:
• Шаг 1 (команда 1): 2² = 4
• Шаг 2 (команда 2): 4 + b
• Шаг 3 (команда 1): (4 + b)²
• Шаг 4 (команда 2): (4 + b)² + b
• Шаг 5 (команда 2): (4 + b)² + b + b = (4 + b)² + 2b
3. Составление уравнения: Мы знаем, что после выполнения программы число стало равно 72. Значит:
• \[ (4 + b)^2 + 2b = 72 \]
4. Решение уравнения:
• Раскроем скобки: 16 + 8b + b² + 2b = 72
• Приведем подобные слагаемые: b² + 10b + 16 = 72
• Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: b² + 10b + 16 - 72 = 0
• b² + 10b - 56 = 0
• Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Попробуем теорему Виета: сумма корней равна -10, произведение корней равно -56.
• Подбираем пары чисел, произведение которых равно -56. Это могут быть (1, -56), (2, -28), (4, -14), (7, -8) и наоборот.
• Проверим, какая пара в сумме даст -10: 4 + (-14) = -10.
• Значит, корни уравнения: b₁ = 4 и b₂ = -14.
5. Выбор натурального числа: По условию, b — неизвестное натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3...).
6. Из двух найденных корней (4 и -14) только 4 является натуральным числом.

Ответ: 4