5. У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. возведи в квадрат 2. прибавь b (b — неизвестное натуральное число) Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b. Программа дли исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12212 переводит число 2 в число 37. Определите значение b.

Решение:

Программа 12212 означает следующую последовательность действий:

1. Команда 1: возвести в квадрат.
2. Команда 2: прибавить b.
3. Команда 2: прибавить b.
4. Команда 1: возвести в квадрат.
5. Команда 2: прибавить b.

Начнем с числа 2:

1. 2 \( \rightarrow 2^2 = 4 \) (команда 1)
2. 4 \( \rightarrow 4 + b \) (команда 2)
3. \( 4 + b \rightarrow (4+b) + b = 4 + 2b \) (команда 2)
4. \( 4 + 2b \rightarrow (4+2b)^2 \) (команда 1)
5. \( (4+2b)^2 \rightarrow (4+2b)^2 + b \) (команда 2)

Результат выполнения программы равен 37. Составим уравнение:

\( (4+2b)^2 + b = 37 \)

Раскроем скобки:

\( 16 + 16b + 4b^2 + b = 37 \)

\( 4b^2 + 17b + 16 = 37 \)

\( 4b^2 + 17b + 16 - 37 = 0 \)

\( 4b^2 + 17b - 21 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 289 + 336 = 625 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \)

Найдем корни:

\[ b_1 = \frac{-17 + 25}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \]

\[ b_2 = \frac{-17 - 25}{2 \cdot 4} = \frac{-42}{8} = -5.25 \]

По условию, b — натуральное число. Следовательно, b = 1.

Ответ: 1